桁架的拓扑优化 - 问题

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花点时间讲下我这个学期忙了写啥,这是第一篇,所以先讲讲花的功夫最多的吧。

其实问题很简单,就是给定空间中节点,给定外力作用情况和固定端,目的是合理地连接这些节点设计出一个能够承载外力的结构。比如说楼上那个问题,平面中给定6个节点,在节点2上作用一个往下的外力,而节点5、6固定,我们想设计一个平面桁架来传递这个外力。

“合理地连接这些节点设计出一个能够承载外力的结构”这句话隐含了很多东西…“合理”是什么意思?这就需要我们去定义了。比如说我们寻找一个使用最少的材料(最少的体积或最少的杆长度总和)并满足应力限制(比如杆中的应力不能超过弹性极限)的结构,这就变成了一个数学上的最优化问题。其次,“结构”这个词意味着它是稳定的而不是个“机构”,但是我们可以看到不是随便连这个点就能产生个“结构的”…比如说下图,是一个有1个自由度的机构。

解决这个问题的第一步,同时也是目前所有想用科学的办法解决问题的第一步,就是用数学的语言去重新“表达”这个问题,也就是所谓的数学建模啦。然后我们经常可以发现可以用很多种不同的方式去表达同一个问题,表达的不同,之后进行求解时采用的方法也就不同,得到的答案也就不一定一样,如何去解释这些答案也是我们要做的事情(我们是谁?)

还要讲很多东西,所以在等大家睡着之前,先放上楼楼上那个问题(最小化体积,保证杆内应力不超过材料的弹性极限)的结果:

颜色代表杆中应力的大小,正值代表拉应力,负值代表压,采用 CPLEX 进行求解,差不多花了 0.03 秒计算出结果…在此再次惊叹下 CPLEX…

下次讲我们是如何数学建模的,再下次讲如何求解的。

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