Piola 应力

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Philippe G. Ciarlet 写的 Mathematical Elasticity 系列的特点就是简洁,在能用数学语言直接描述的时候就直接用数学语言描述(当然力学解释还是需要的),不像 The Mechanics and Thermodynamics of Continua 这本书还引入很多其他定义(比如物质向量、纤维等…)。今天讲讲 MCM 中的 Piola 变换,旨在建立两个有相同的物理力学意义,但分别定义在参考位置(Configuration de référence)和当前位置(Configuration actuelle)上的两个张量场之间的关系。

由于力学上一个非常重要的 Cauchy 应力张量是建立在当前位置上的,但我们在采取 Lagrangien 观点时(比如对于固体大变形时)更偏好1用定义在参考位置上的函数,所以我们想找到一个对应 Cauchy 应力张量,但定义在参考位置上的一个应力张量。为此,引入所谓的 Piola 变换。设 \(T^\varphi\) 是这么一个建立在当前位置上的张量场,我们定义其 Piola 变换是

\[T(x)=T^\varphi(x^\varphi)\operatorname{Cof}\nabla\varphi(x)\]

这里先跳过应力,通过引入这个变换可以证明2一个关于面积在变换 \(\varphi\) 下的转换。

\[\mathrm{d}a^\varphi=\lvert\operatorname{Cof}\nabla\varphi(x)n\rvert\,\mathrm{d}a\]

其中 \(n\) 是 \(\mathrm{d}a\) 的单位法向量。这个公式中的余子项

\[\operatorname{Cof}\nabla\varphi=(\det\nabla\varphi)\nabla\varphi^{-\mathrm{T}}\]

有如下意义 \(\nabla\varphi(x)\wedge\nabla\varphi(y)=(\operatorname{Cof}\nabla\varphi)(x\wedge y)\)

并事实上就证明了前面的式子,因为

\[n^\varphi\,\mathrm{d}a^\varphi=(\operatorname{Cof}\nabla\varphi)n\,\mathrm{d}a\]

现在设 \(T^\varphi\) 和 \(T\) 分别就是 Cauchy 和 Piola 应力,通过上面的式子我们得到

\[T^\varphi(x^\varphi)n^\varphi\,\mathrm{d}a^\varphi=T^\varphi(x^\varphi)\operatorname{Cof}\nabla\varphi(x)n\,\mathrm{d}a=T(x)n\,\mathrm{d}a\]

我们看到左边是当前位置下一个变形后的面积元上面的受力情况,反映了真实应力(力除以当前面积);右边是参考位置下一个没有变形的面积元上的受力,就是我们一般的工程应力的推广(力除以初始面积),这就是 Piola 应力的物理含义。

  1. 事实上在实际求解力学问题的时候,当前位置本身就是一个未知量…所以处理那些定义在当前位置上的量就比较复杂了。 

  2. 我记得看过一个笑话,就是说文章里面说的“可以证明”意思就是说“我不会证明”。 

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