Legendre 变换

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…今天泡了大半天 Pompidou 图书馆加上网上一个超好的文章 Legendre-Fenchel transforms in a nutshell 终于搞清楚点了这个超级好玩的变换…我说的好玩是指乍眼难以看清它在干什么…

由于已经晚上了…现在不想写得太详细1,所以就说说定义和一些结论。设 \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\cup\{+\infty\}\),其 LF 变换定义为

\[f^*(k)=\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\left(\langle k,x\rangle-f(x)\right)\]

下面是关于 LF 变换的几个结论,以后再补充。

  • 点变成斜率;把斜率变成点。
  • 不可导点变成一段上的线性函数。比如把 \(x\mapsto\lvert x\rvert\) 变成 \([-1,1]\) 的指示函数(在集合内为零,在集合外为正无穷)
  • 若 \(f\) 在 \(x\) 处可导且导数为 \(k\),那么 \(f^*\) 在 \(k\) 处可导而且导数为 \(x\)
\[k\in\partial f(x)\iff x\in\partial f^*(k)\]
  1. 其实也写不了很详细 

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