虚功率定理

2 minute read

显着无事,还不如好好总结下连续介质力学里面的一些东西。今天说说虚功率定理,这个定理,或者说这个形式(弱形式)是之后进行数值求解,特别是有限元方法求解时一个最基本的式子。它把偏微分方程一般的强形式,即一个联系着各个物理量的偏微分的局部方程,转换成一个对解的光滑性要求不怎么高的一个积分形式,使得我们可以得到很多强形式得不到的解(导数不连续的解,比如)。

这里我们不说一般偏微分方程(我事实上没怎么系统学过偏微分方程,上大+UTC 的工程师教育我之恩那个说更偏向实际运用,并非偏研究),就讨论连续介质力学里面的最重要的平衡方程:Cauchy 定理。即存在一个定义在当前位置上的2阶对称张量,叫做应力张量,满足如下式子。这里我们考虑静平衡问题,所以惯性就忽略了。

\[\operatorname{div}\sigma+\rho f=0\]

其中 \(\sigma\) 就是 Cauchy 应力张量,\(\rho\) 是当前位置下的密度,而 \(f\) 就是当前位置下单位质量上收到的体积力。这个公式的证明不是特别复杂,我指思路。首先 Cauchy 假设一个面积元上收到的面积力仅仅是这个面积元的法向 \(n\) 的函数,即事实上在一点两个有相同法向但曲率不同面积收到相同的面积力。当然这是一个假设,但在我们固体力学一般应用中这个假设还是挺成立的。其次,Cauchy 再假设这个面积力事实上是法向 \(n\) 的一个线性函数,而这个线性函数就是 Cauchy 应力张量。好了,然后根据静力学的合力平衡,就推出了上面的式子;而力矩平衡则推出了这个应力张量是对称的,即 \(\sigma=\sigma^\mathsf{t}\)。

但实际我们通常要求解的是位移 \(u\) 而不是应力,因为我们把位移当作主未知量。这样一来,由于一般应力是位移梯度(一阶导数)的函数,所以这个平衡方程就变成了一个关于位移的二阶偏微分方程。不管是在理论或者数值求解的时候,这个强形式就不是特别方便,为此我们把这个方程进行对偶化,即取一个相对光滑的向量场(可以看作是一个假设的速度场或位移场),记作 \(w\),然后乘到原平衡方程里面并对当前体积积分,得到如下式子。

\[\int_{\Omega}\operatorname{div}\sigma.w\,\mathrm{d}V+\int_{\Omega}\rho f.w\,\mathrm{d}V=0\]

根据格林公式和一些演算,可以将第一项转换成如下式子。

\[\int_{\Omega}\operatorname{div}\sigma.w\,\mathrm{d}V=-\int_{\Omega}\sigma:D(w)\,\mathrm{d}V+\int_{\partial\Omega}(\sigma n).w\,\mathrm{d}A\]

其中 \(D(w)=(\nabla w+\nabla w^\mathsf{t})/2\)。特别的,如果 \(w\) 是速度场的时候,那么 \(D(w)\) 就是变形率张量,即刻画应变的速度。而 \(\sigma:D(w)\) 正是固体的内功率体密度!这样,我们就得到

\[\int_{\Omega}\sigma.D(w)\,\mathrm{d}V=\int_{\Omega}\rho f.w\,\mathrm{d}V+\int_{\partial\Omega}(\sigma n).w\,\mathrm{d}A\]

这就是虚功率定理,表示固体的内功率等于体积外力和面积外力的功率。要注意上式对于所有相对光滑的向量场 \(w\) 都成立,所以这个虚功率定理,或者这个弱形式,在假设一些原来方程的光滑性要求后,就等价于原来的强形式。但这个弱形式也允许一些原来方程不允许的解,我们发现这个弱形式只涉及到了位移的一阶导数(通过应力),这样一来数值求解就方便了很多。本篇日志目的达成~

下面要说的就是一个扩展了。有限元方法就建立在这个弱形式上,只不过我们这次将解和测试函数 \(w\) 取在一个有限维的空间中。很明显之前解属于一个有一定光滑性要求的函数空间,是无穷维的;所以我们就取这个无穷维空间中的一个有限维子空间,并希望这个子空间能一定程度上反映或表达出这个解。通过这样,原方程就变成了一个线性方程组问题,可以用数值线性代数求解。

这就是有限元最一般的 Galerkin 方法。有限元是这个方法的一个特例,即在有限维空间的选取上做文章。我们把空间进行网格划分,然后假设解在每个网格上都是一个相对简单的函数(比如线性函数),即解是一个分片定义的全局函数(比如分片线性函数)。这么做有很多好处,比如说构造出来的矩阵就是稀疏的,因为这个有限维空间的基函数的支撑集都很小,这样到最后求解就会很快了。

Tags:

Updated:

Comments